Найдите наибольшее четырёхзначное натуральное число, у которог произведение цифр — двузначное число, а произведение цифр пр изведения цифр равно 2? Решение.

• Чтобы число было наибольшим, начнем с наибольшей цифры в старшем разряде (тысячи).
• Пусть это будет 9. Тогда произведение трех оставшихся цифр должно быть больше 1, чтобы общее произведение было двузначным.
• Рассмотрим число 9911: произведение его цифр равно \(9 \cdot 9 \cdot 1 \cdot 1 = 81\[. Произведение цифр числа 81 равно \(8 \cdot 1 = 8\), что не равно 2.
• Рассмотрим число 9921: произведение его цифр равно \(9 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 1 = 162\), что уже трехзначное число, не подходит.
• Нужно, чтобы произведение цифр было двузначным и давало в итоге 2. Число 2 можно получить только как произведение 1 и 2. Значит, наше двузначное число должно быть либо 12, либо 21.
• Разложим 12 на простые множители: \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\). Значит, можно использовать цифры 1, 2, 2 и 3.
• Чтобы получить наибольшее число, расположим цифры в порядке убывания: 9322. Проверим: \(9 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 108\). Это не подходит, так как произведение цифр должно быть 12 или 21.
• Попробуем число 9612: \(9 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 2 = 108\) - не подходит.
• Попробуем другие варианты с произведением цифр 21. Число 21 раскладывается на простые множители \(21 = 3 \cdot 7\).
• Рассмотрим число 7311: \(7 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1 = 21\). Произведение цифр числа 21 равно \(2 \cdot 1 = 2\), что удовлетворяет условию.
• Чтобы получить наибольшее число, расположим цифры в порядке убывания: 9713. Проверим: \(9 \cdot 7 \cdot 1 \cdot 3 = 189\) - не подходит.
• Поменяем цифры местами, чтобы получить наибольшее четырехзначное число: 7311.
• Попробуем 7131. Произведение цифр также равно 21, а произведение цифр произведения равно 2.
• Наибольшее число, которое можно составить из этих цифр: 7311.

Ответ: 7311