7) Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. a) f(x) = x³ - 2x² + x – 3, [1/2; 2] 6) f(x) = 4+x, [0; 3] x+1

а) f(x) = x³ - 2x² + x – 3, отрезок [1/2; 2]

• Шаг 1: Находим производную функции:

\[f'(x) = 3x^2 - 4x + 1\]

• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[3x^2 - 4x + 1 = 0\] \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4\] \[x_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = 1\] \[x_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}\]

• Шаг 3: Выбираем корни, принадлежащие отрезку [1/2; 2].

Корень x = 1 принадлежит отрезку, а корень x = 1/3 не принадлежит.

• Шаг 4: Вычисляем значения функции на концах отрезка и в точке x = 1:

\[f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^3 - 2(\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 3 = \frac{1}{8} - 3 = -2.875\] \[f(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 - 3 = 1 - 2 + 1 - 3 = -3\] \[f(2) = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2 - 3 = 8 - 8 + 2 - 3 = -1\]

• Шаг 5: Сравниваем значения функции и выбираем наибольшее и наименьшее:

Наибольшее значение: -1

Наименьшее значение: -3

б) f(x) = 4/(x+1) + x, отрезок [0; 3]

• Шаг 1: Находим производную функции:

\[f'(x) = -\frac{4}{(x+1)^2} + 1\]

• Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[-\frac{4}{(x+1)^2} + 1 = 0\] \[\frac{4}{(x+1)^2} = 1\] \[(x+1)^2 = 4\] \[x+1 = \pm 2\] \[x_1 = 2 - 1 = 1\] \[x_2 = -2 - 1 = -3\]

• Шаг 3: Выбираем корни, принадлежащие отрезку [0; 3].

Корень x = 1 принадлежит отрезку, а корень x = -3 не принадлежит.

• Шаг 4: Вычисляем значения функции на концах отрезка и в точке x = 1:

\[f(0) = \frac{4}{0+1} + 0 = 4\] \[f(1) = \frac{4}{1+1} + 1 = 2 + 1 = 3\] \[f(3) = \frac{4}{3+1} + 3 = 1 + 3 = 4\]

• Шаг 5: Сравниваем значения функции и выбираем наибольшее и наименьшее:

Наибольшее значение: 4

Наименьшее значение: 3