Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на промежутке: f(x) = -3x² + 6x - 10 [-2; 9]

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( f(x) = -3x^2 + 6x - 10 \) на отрезке \( [-2; 9] \) найдём производную и критические точки.

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (-3x^2 + 6x - 10)' = -6x + 6 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( -6x + 6 = 0 \) \( \Rightarrow -6x = -6 \) \( \Rightarrow x = 1 \).
3. Проверим, принадлежит ли критическая точка \( x=1 \) данному отрезку \( [-2; 9] \). Да, принадлежит.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   • При \( x = -2 \): \( f(-2) = -3(-2)^2 + 6(-2) - 10 = -3(4) - 12 - 10 = -12 - 12 - 10 = -34 \).
   • При \( x = 1 \): \( f(1) = -3(1)^2 + 6(1) - 10 = -3 + 6 - 10 = 3 - 10 = -7 \).
   • При \( x = 9 \): \( f(9) = -3(9)^2 + 6(9) - 10 = -3(81) + 54 - 10 = -243 + 54 - 10 = -189 - 10 = -199 \).
5. Сравним полученные значения: \( -34, -7, -199 \).

Наибольшее значение функции равно -7, а наименьшее — -199.

Ответ: Наибольшее значение: -7, Наименьшее значение: -199.