Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на промежутке: y=-2tg х на отрезке [0; π/6]

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции \( y = -2\text{tg } x \) на отрезке \( [0; \frac{\pi}{6}] \) проанализируем её поведение.

1. Найдем производную функции: \( y' = (-2\text{tg } x)' = -2(\text{tg } x)' = -2 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{2}{\cos^2 x} \).
2. На промежутке \( [0; \frac{\pi}{6}] \), \( \cos x \) положительный, и \( \cos^2 x \) также положительный. Следовательно, \( y' = -\frac{2}{\cos^2 x} < 0 \) на данном промежутке.
3. Поскольку производная отрицательна, функция \( y = -2\text{tg } x \) является убывающей на отрезке \( [0; \frac{\pi}{6}] \).
4. Для убывающей функции наибольшее значение достигается в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.
5. Вычислим значения функции на концах отрезка:
   • При \( x = 0 \): \( y(0) = -2\text{tg}(0) = -2 \cdot 0 = 0 \).
   • При \( x = \frac{\pi}{6} \): \( y(\frac{\pi}{6}) = -2\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \).

Наибольшее значение функции равно 0, а наименьшее — \( -\frac{2\sqrt{3}}{3} \).

Ответ: Наибольшее значение: 0, Наименьшее значение: \(-\frac{2\sqrt{3}}{3}\).