Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке 4 f(x) = x²+x+x, [0;3]

Решение:

Давай найдем наибольшее и наименьшее значения функции \[f(x) = \frac{4}{x+1} + x\] на отрезке \[ [0;3] \].

1. Находим производную функции:

   Используем правило дифференцирования для дроби и степенной функции:

   \[ f'(x) = -\frac{4}{(x+1)^2} + 1 \]

2. Приравниваем производную к нулю и находим критические точки:

   \[ -\frac{4}{(x+1)^2} + 1 = 0 \]

   \[ \frac{4}{(x+1)^2} = 1 \]

   \[ (x+1)^2 = 4 \]

   \[ x+1 = \pm 2 \]

   Получаем два значения для x:

   \[ x_1 = 2 - 1 = 1 \]

   \[ x_2 = -2 - 1 = -3 \]

   Так как рассматриваем отрезок \[ [0;3] \], значение \[ x_2 = -3 \] не входит в этот отрезок.

3. Проверяем значение функции на концах отрезка и в критической точке:

   • В точке \[ x = 0 \]:

     \[ f(0) = \frac{4}{0+1} + 0 = 4 \]

   • В точке \[ x = 1 \]:

     \[ f(1) = \frac{4}{1+1} + 1 = \frac{4}{2} + 1 = 2 + 1 = 3 \]

   • В точке \[ x = 3 \]:

     \[ f(3) = \frac{4}{3+1} + 3 = \frac{4}{4} + 3 = 1 + 3 = 4 \]

4. Сравниваем значения функции:

   Получили следующие значения:

   • \[ f(0) = 4 \]
   • \[ f(1) = 3 \]
   • \[ f(3) = 4 \]

   Наибольшее значение функции на отрезке \[ [0;3] \] равно 4, а наименьшее значение равно 3.

Ответ: Наибольшее значение: 4, наименьшее значение: 3.

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!