Найдите наибольшее трёхзначное число, которое при делении на 3 даёт остаток 2, а при делении на 4 даёт остаток 1 и которое записано тремя различными нечётными цифрами.

Решение:

Искомое число должно удовлетворять следующим условиям:

• Трехзначное число.
• При делении на 3 даёт остаток 2.
• При делении на 4 даёт остаток 1.
• Записано тремя различными нечетными цифрами (1, 3, 5, 7, 9).

Число, которое при делении на 4 даёт остаток 1, является нечетным. Поскольку число должно быть записано тремя различными нечетными цифрами, это условие выполняется.

Рассмотрим возможные комбинации трех различных нечетных цифр для трехзначного числа, начиная с наибольших, чтобы найти наибольшее число.

1. Используем цифры 9, 7, 5:
• Наибольшее число: 975.
• Проверяем остаток от деления на 3: \( 9+7+5=21 \). \( 21 \) делится на 3 без остатка. Значит, 975 при делении на 3 даст остаток 0, а не 2.
• Следующее по убыванию: 957. \( 9+5+7=21 \). Делится на 3 без остатка.
• Следующее: 795. \( 7+9+5=21 \). Делится на 3 без остатка.
• Следующее: 759. \( 7+5+9=21 \). Делится на 3 без остатка.
• Следующее: 597. \( 5+9+7=21 \). Делится на 3 без остатка.
• Следующее: 579. \( 5+7+9=21 \). Делится на 3 без остатка.
• Все числа, составленные из 9, 7, 5, делятся на 3 без остатка. Следовательно, они дают остаток 0 при делении на 3, а нам нужен остаток 2.
2. Используем цифры 9, 7, 3:
• Наибольшее число: 973.
• Проверяем остаток от деления на 3: \( 9+7+3=19 \). \( 19 = 3 \times 6 + 1 \). Остаток 1. Нам нужен остаток 2.
• Следующее по убыванию: 937. \( 9+3+7=19 \). Остаток 1.
• Следующее: 793. \( 7+9+3=19 \). Остаток 1.
• Следующее: 739. \( 7+3+9=19 \). Остаток 1.
• Следующее: 397. \( 3+9+7=19 \). Остаток 1.
• Следующее: 379. \( 3+7+9=19 \). Остаток 1.
• Все числа, составленные из 9, 7, 3, дают остаток 1 при делении на 3.
3. Используем цифры 9, 7, 1:
• Наибольшее число: 971.
• Проверяем остаток от деления на 3: \( 9+7+1=17 \). \( 17 = 3 \times 5 + 2 \). Остаток 2. Условие выполнено.
• Проверяем остаток от деления на 4: Число 971. Последние две цифры: 71. \( 71 = 4 \times 17 + 3 \). Остаток 3. Нам нужен остаток 1.
• Следующее по убыванию: 917. \( 9+1+7=17 \). Остаток 2.
• Проверяем остаток от деления на 4: Число 917. Последние две цифры: 17. \( 17 = 4 \times 4 + 1 \). Остаток 1. Условие выполнено.
• Цифры 9, 1, 7 — различные нечетные.

Мы нашли число 917, которое удовлетворяет всем условиям. Так как мы шли от наибольших комбинаций цифр и наибольших чисел, то 917 является наибольшим таким числом.

Ответ: 917