Найдите наибольшее целое число, на которое делится число \((n+1)(n+3)(n+5)(n+7)(n+9)(n+11)при любых целых чётных \(n\).

Пусть \(n\) — любое чётное целое число.

1. Среди шести множителей, идущих с шагом 2, ровно два делятся на 3. Значит, произведение всегда делится на \(3^2=9\).
2. Остатки шести множителей по модулю 5 пробегают все классы вычетов, поэтому хотя бы один множитель делится на 5. Следовательно, произведение всегда делится на 5.
3. Покажем, что больший общий делитель получить нельзя. При \(n=10\) произведение равно \(11\cdot13\cdot15\cdot17\cdot19\cdot21\). В нём содержится ровно \(3^2\) и ровно один множитель 5; ни один простой множитель, кроме 3 и 5, в произведении не встречается с обязательной для всех чётных \(n\) кратностью.

Значит, наибольший общий делитель значений произведения при всех чётных \(n\) равен \(9\cdot5=45\).

Ответ: 45