Найдите наибольшее значение дроби \(\frac{5}{(t-4)^2+1}\).

Так как \((t-4)^2 \ge 0\), то \((t-4)^2+1 \ge 1\).

Следовательно, дробь принимает наибольшее значение при \(t=4\):

\[\frac{5}{(4-4)^2+1}=\frac{5}{1}=5.\]

Ответ: 5.