Найдите наибольшее значение функции \(y = -5 \text{tg} x + 10x - 2{,}5\pi - 2\) на отрезке \(\[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\]\).

Пошаговое решение:

1. Находим производную функции: \[y' = -5 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + 10\]
2. Приравниваем производную к нулю и находим стационарные точки: \[-5 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} + 10 = 0\]\[\frac{1}{\cos^2 x} = 2\]\[\cos^2 x = \frac{1}{2}\]\[\cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\]\[x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}\]На отрезке \(\[-\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}\]\) содержатся точки \(x_1 = -\frac{\pi}{4}\) и \(x_2 = \frac{\pi}{4}\).
3. Вычисляем значение функции в стационарной точке \(x_2 = \frac{\pi}{4}\): \[y\left(\frac{\pi}{4}\right) = -5 \text{tg} \frac{\pi}{4} + 10 \cdot \frac{\pi}{4} - 2{,}5\pi - 2 = -5 + 2{,}5\pi - 2{,}5\pi - 2 = -7\]
4. Вычисляем значение функции в стационарной точке \(x_1 = -\frac{\pi}{4}\): \[y\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -5 \text{tg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 10 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) - 2{,}5\pi - 2 = 5 - 2{,}5\pi - 2{,}5\pi - 2 = 3 - 5\pi\]
5. Вычисляем значение функции на концах отрезка: \[y\left(-\frac{\pi}{3}\right) = -5 \text{tg} \left(-\frac{\pi}{3}\right) + 10 \cdot \left(-\frac{\pi}{3}\right) - 2{,}5\pi - 2 = 5 \sqrt{3} - \frac{10\pi}{3} - \frac{2{,}5\pi}{1} - 2 = 5 \sqrt{3} - \frac{10\pi}{3} - \frac{7{,}5\pi}{3} - 2 = 5 \sqrt{3} - \frac{17{,}5\pi}{3} - 2\]\[y\left(\frac{\pi}{3}\right) = -5 \text{tg} \frac{\pi}{3} + 10 \cdot \frac{\pi}{3} - 2{,}5\pi - 2 = -5 \sqrt{3} + \frac{10\pi}{3} - \frac{2{,}5\pi}{1} - 2 = -5 \sqrt{3} + \frac{10\pi}{3} - \frac{7{,}5\pi}{3} - 2 = -5 \sqrt{3} + \frac{2{,}5\pi}{3} - 2\]
6. Сравниваем полученные значения: \(-7\), \(3 - 5\pi\), \(5 \sqrt{3} - \frac{17{,}5\pi}{3} - 2\), \(-5 \sqrt{3} + \frac{2{,}5\pi}{3} - 2\).Наибольшее значение: \(-7\).

Ответ: -7