Найдите наибольшее значение функции f(x)=(x-1)/(x+2) на отрезке [0;4].

Решение:

Заданная функция \( f(x) = \frac{x-1}{x+2} \) является дробно-линейной. Для нахождения наибольшего значения на отрезке \( [0;4] \) нам нужно исследовать поведение функции на этом интервале.

Найдем производную функции:

\[ f'(x) = \frac{(x-1)'(x+2) - (x-1)(x+2)'}{(x+2)^2} = \frac{1 \cdot (x+2) - (x-1) · 1}{(x+2)^2} = \frac{x+2 - x+1}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2} \]

Так как \( (x+2)^2 \) всегда больше нуля при \( x \in [0;4] \) (знаменатель не равен нулю), то \( f'(x) = \frac{3}{(x+2)^2} > 0 \) на всём интервале \( [0;4] \). Это означает, что функция \( f(x) \) является возрастающей на этом отрезке.

Следовательно, наибольшее значение функции будет достигаться в правой границе отрезка, то есть при \( x = 4 \).

Вычислим значение функции в точке \( x = 4 \):

\[ f(4) = \frac{4-1}{4+2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Вычислим значение функции в левой границе отрезка, чтобы сравнить:

\[ f(0) = \frac{0-1}{0+2} = \frac{-1}{2} \]

Наибольшее значение функции на отрезке \( [0;4] \) равно \( \frac{1}{2} \).

Ответ: 1/2