Найдите наибольшее значение функции у=\frac{1}{3}x\sqrt{x}-3x+70 на отрезке [9; 81].

Найдем производную заданной функции:

$$y' = \frac{1}{3} (x\sqrt{x})' - 3$$

$$y' = \frac{1}{3} (x^{3/2})' - 3$$

$$y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} - 3$$

$$y' = \frac{1}{2} \sqrt{x} - 3$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$\frac{1}{2} \sqrt{x} - 3 = 0$$

$$\frac{1}{2} \sqrt{x} = 3$$

$$\sqrt{x} = 6$$

$$x = 36$$

Проверим, лежит ли эта точка в заданном отрезке [9; 81]. Да, 36 ∈ [9; 81].

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

$$y(9) = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} - 3 \cdot 9 + 70 = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 - 27 + 70 = 9 - 27 + 70 = 52$$

$$y(36) = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{36} - 3 \cdot 36 + 70 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 - 108 + 70 = 72 - 108 + 70 = 34$$

$$y(81) = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot \sqrt{81} - 3 \cdot 81 + 70 = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 9 - 243 + 70 = 243 - 243 + 70 = 70$$

Наибольшее значение функции на отрезке [9; 81] равно 52.

Ответ: 52