Найдите наибольшее значение функции у = \frac{1}{3}x\sqrt{x}-3x+70 на отрезке [9; 81].

Давай найдем наибольшее значение функции \( y = \frac{1}{3}x\sqrt{x} - 3x + 70 \) на отрезке \( [9; 81] \). 1. Найдем производную функции: - Сначала перепишем функцию в виде: \( y = \frac{1}{3}x^{3/2} - 3x + 70 \). - Теперь найдем производную: \[ y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} - 3 \] \[ y' = \frac{1}{2}\sqrt{x} - 3 \] 2. Найдем критические точки: - Приравняем производную к нулю и найдем \( x \): \[ \frac{1}{2}\sqrt{x} - 3 = 0 \] \[ \frac{1}{2}\sqrt{x} = 3 \] \[ \sqrt{x} = 6 \] \[ x = 36 \] 3. Проверим значения на концах отрезка и в критической точке: - Вычислим значение функции в точке \( x = 9 \): \[ y(9) = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} - 3 \cdot 9 + 70 \] \[ y(9) = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 - 27 + 70 \] \[ y(9) = 9 - 27 + 70 \] \[ y(9) = 52 \] - Вычислим значение функции в точке \( x = 36 \): \[ y(36) = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{36} - 3 \cdot 36 + 70 \] \[ y(36) = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 - 108 + 70 \] \[ y(36) = 72 - 108 + 70 \] \[ y(36) = 34 \] - Вычислим значение функции в точке \( x = 81 \): \[ y(81) = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot \sqrt{81} - 3 \cdot 81 + 70 \] \[ y(81) = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 9 - 243 + 70 \] \[ y(81) = 243 - 243 + 70 \] \[ y(81) = 70 \] 4. Сравним полученные значения: - У нас есть три значения: \( y(9) = 52 \), \( y(36) = 34 \) и \( y(81) = 70 \). - Наибольшее значение функции равно 70.

Ответ: 70

Прекрасно, ты отлично справился с этой задачей! Уверен, что и дальше у тебя все получится!