Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Найдите наибольшее значение функции у = log₁/₂(x²+6x+12) на отрезке [-19; -1].
Ответ:
Краткое пояснение: Необходимо найти наибольшее значение функции на заданном отрезке. Функция является логарифмической с основанием меньше единицы, поэтому она убывает с ростом аргумента. Следовательно, наибольшее значение функции будет в точке, где аргумент принимает наименьшее значение.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Рассмотрим функцию \( f(x) = x^2 + 6x + 12 \). Необходимо найти минимум этой функции на отрезке [-19; -1].
- Шаг 2: Найдем производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = 2x + 6 \] - Шаг 3: Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
\[ 2x + 6 = 0 \]
\[ x = -3 \] - Шаг 4: Проверим, принадлежит ли критическая точка отрезку [-19; -1]. Точка \( x = -3 \) принадлежит отрезку.
- Шаг 5: Вычислим значения функции \( f(x) \) на концах отрезка и в критической точке:
- \( f(-19) = (-19)^2 + 6(-19) + 12 = 361 - 114 + 12 = 259 \)
- \( f(-1) = (-1)^2 + 6(-1) + 12 = 1 - 6 + 12 = 7 \)
- \( f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 12 = 9 - 18 + 12 = 3 \)
- Шаг 6: Наименьшее значение функции \( f(x) \) на отрезке [-19; -1] равно 3.
- Шаг 7: Теперь найдем наибольшее значение функции \( y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 6x + 12) \) на отрезке [-19; -1]:
\[ y_{max} = \log_{\frac{1}{2}}(3) \]
Ответ: \(\log_{\frac{1}{2}}(3)\)
