Найдите наибольшее значение функции y = 1/3x√x-3x+70 на отрезке [9; 81].

Найдем производную заданной функции:

$$y' = (\frac{1}{3}x\sqrt{x}-3x+70)' = \frac{1}{3} (x^{3/2})' - 3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} x^{1/2} - 3 = \frac{1}{2} \sqrt{x} - 3$$

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

$$\frac{1}{2} \sqrt{x} - 3 = 0$$

$$\frac{1}{2} \sqrt{x} = 3$$

$$\sqrt{x} = 6$$

$$x = 36$$

Найденная критическая точка $$x=36$$ принадлежит заданному отрезку [9; 81].

Вычислим значение функции на концах отрезка и в критической точке:

$$y(9) = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} - 3 \cdot 9 + 70 = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 - 27 + 70 = 9 - 27 + 70 = 52$$

$$y(36) = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{36} - 3 \cdot 36 + 70 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6 - 108 + 70 = 72 - 108 + 70 = 34$$

$$y(81) = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot \sqrt{81} - 3 \cdot 81 + 70 = \frac{1}{3} \cdot 81 \cdot 9 - 243 + 70 = 243 - 243 + 70 = 70$$

Сравним значения функции в этих точках: $$y(9) = 52$$, $$y(36) = 34$$, $$y(81) = 70$$.

Наибольшее значение функции равно 70.

Ответ: 70