Найдите наибольшее значение функции y = 6 + 12x - 4x√x на отрезке [2:11].

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции \( y = 6 + 12x - 4x\sqrt{x} \) на отрезке \( [2, 11] \) найдём производную функции:

\[ y' = 12 - 4 \left( \sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \right) = 12 - 4\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = 12 - 6\sqrt{x} \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 12 - 6\sqrt{x} = 0 \]\[ 6\sqrt{x} = 12 \]\[ \sqrt{x} = 2 \]\[ x = 4 \]

Так как \( x = 4 \) находится внутри отрезка \( [2, 11] \), проверим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• При \( x = 2 \): \( y = 6 + 12(2) - 4(2)\sqrt{2} = 6 + 24 - 8\sqrt{2} = 30 - 8\sqrt{2} \approx 30 - 8(1.414) = 30 - 11.312 = 18.688 \)
• При \( x = 4 \): \( y = 6 + 12(4) - 4(4)\sqrt{4} = 6 + 48 - 16(2) = 54 - 32 = 22 \)
• При \( x = 11 \): \( y = 6 + 12(11) - 4(11)\sqrt{11} = 6 + 132 - 44\sqrt{11} = 138 - 44\sqrt{11} \approx 138 - 44(3.317) = 138 - 145.948 = -7.948 \)

Сравнивая полученные значения, наибольшим является \( 22 \).

Ответ: 22.