Найдите наибольшее значение функции y = ln(x + 5) − x³ на отрезке [−4,5; 0].

Область определения функции: \(x+5>0\), то есть \(x>-5\). Весь отрезок \([-4.5;0]\) входит в область определения.

Найдём производную:

\[y'=\frac{1}{x+5}-3x^2.\]

На отрезке \([-4.5;0]\) уравнение \(y'=0\) имеет корни:

\[\frac{1}{x+5}=3x^2 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2(x+5)=1.\]

Приближённо получаем единственную критическую точку на данном отрезке: \(x\approx -4.928\), которая не принадлежит отрезку. Поэтому на всём отрезке \(y'>0\), и функция возрастает.

Следовательно, наибольшее значение достигается при \(x=0\):

\[y(0)=\ln(0+5)-0^3=\ln 5.\]

Ответ: \(\ln 5\).