Найдите наибольшее значение функции y = \sqrt{6x + 27 - x^2}.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Рассмотрим подкоренное выражение: $$6x + 27 - x^2$$.
2. Перепишем его в стандартном виде квадратного трехчлена: $$-x^2 + 6x + 27$$.
3. Выделим полный квадрат. Для этого вынесем знак минус за скобки: $$-(x^2 - 6x - 27)$$.
4. Дополним выражение в скобках до полного квадрата. Для этого половину коэффициента при $$x$$ (который равен -6) возведем в квадрат: $$(-6/2)^2 = (-3)^2 = 9$$.
5. Добавим и вычтем 9 внутри скобок: $$-(x^2 - 6x + 9 - 9 - 27)$$.
6. Сгруппируем члены, чтобы получить полный квадрат: $$-((x - 3)^2 - 9 - 27)$$.
7. Упростим выражение в скобках: $$-((x - 3)^2 - 36)$$.
8. Раскроем скобки: $$-(x - 3)^2 + 36$$.
9. Таким образом, подкоренное выражение равно $$36 - (x - 3)^2$$.
10. Функция $$y = \sqrt{36 - (x - 3)^2}$$.
11. Для того чтобы функция имела наибольшее значение, подкоренное выражение должно быть максимально возможным.
12. Выражение $$(x - 3)^2$$ всегда неотрицательно, то есть $$(x - 3)^2 ≥ 0$$.
13. Максимальное значение подкоренного выражения достигается, когда $$(x - 3)^2 = 0$$, что происходит при $$x = 3$$.
14. При $$x = 3$$ значение подкоренного выражения равно $$36 - 0 = 36$$.
15. Следовательно, наибольшее значение функции $$y = \sqrt{36} = 6$$.

Ответ: 6