Найдите наибольшее значение функции $$y = x^3 + x^2 - 21x - 13$$ на отрезке [-8; 0].

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке, нам нужно найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки, а затем вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции:

\( y' = (x^3 + x^2 - 21x - 13)' = 3x^2 + 2x - 21 \)

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

\( 3x^2 + 2x - 21 = 0 \)

Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(3)(-21) = 4 + 252 = 256 \). \( \sqrt{D} = 16 \).

\( x_1 = \frac{-2 + 16}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \)

\( x_2 = \frac{-2 - 16}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3 \)

3. Проверим, входят ли критические точки в заданный отрезок [-8; 0].

\( x_1 = \frac{7}{3} \) не входит в отрезок [-8; 0].

\( x_2 = -3 \) входит в отрезок [-8; 0].

4. Вычислим значения функции в критической точке \( x = -3 \) и на концах отрезка \( x = -8 \) и \( x = 0 \).

При \( x = -3 \):

\( y(-3) = (-3)^3 + (-3)^2 - 21(-3) - 13 = -27 + 9 + 63 - 13 = 32 \)

При \( x = -8 \):

\( y(-8) = (-8)^3 + (-8)^2 - 21(-8) - 13 = -512 + 64 + 168 - 13 = -293 \)

При \( x = 0 \):

\( y(0) = (0)^3 + (0)^2 - 21(0) - 13 = -13 \)

5. Сравним полученные значения: 32, -293, -13. Наибольшее значение равно 32.

Ответ: 32