Найдите наибольшее значение функции y=(x+4)² (x+3)-6 на отрезке [-5; -3,5].

Разбираемся:

Пошаговое решение:

1. Найдём производную функции:
2. \( y = (x+4)^2 (x+3) - 6 \)
3. \( y = (x^2 + 8x + 16)(x+3) - 6 \)
4. \( y = x^3 + 3x^2 + 8x^2 + 24x + 16x + 48 - 6 \)
5. \( y = x^3 + 11x^2 + 40x + 42 \)
6. Теперь найдём производную:
7. \( y' = 3x^2 + 22x + 40 \)
8. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:
9. \( 3x^2 + 22x + 40 = 0 \)
10. Решим квадратное уравнение:
11. Дискриминант \( D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 484 - 480 = 4 \)
12. \( x_1 = \frac{-22 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-22 + 2}{6} = \frac{-20}{6} = -\frac{10}{3} \approx -3,33 \)
13. \( x_2 = \frac{-22 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-22 - 2}{6} = \frac{-24}{6} = -4 \)
14. Оба корня \( x_1 \) и \( x_2 \) принадлежат отрезку \( [-5; -3,5] \).
15. Проверим значения функции на концах отрезка и в критических точках:
16. \( y(-5) = (-5+4)^2 (-5+3) - 6 = 1 \cdot (-2) - 6 = -2 - 6 = -8 \)
17. \( y(-3,5) = (-3,5+4)^2 (-3,5+3) - 6 = (0,5)^2 (-0,5) - 6 = 0,25 \cdot (-0,5) - 6 = -0,125 - 6 = -6,125 \)
18. \( y(-\frac{10}{3}) = (-\frac{10}{3}+4)^2(-\frac{10}{3}+3) - 6 = (\frac{2}{3})^2(-\frac{1}{3}) - 6 = \frac{4}{9} \cdot (-\frac{1}{3}) - 6 = -\frac{4}{27} - 6 = -6 - \frac{4}{27} = -6\frac{4}{27} \)
19. \( y(-4) = (-4+4)^2(-4+3) - 6 = 0 \cdot (-1) - 6 = -6 \)
20. Сравним значения: \( -8, -6,125, -6\frac{4}{27}, -6 \).

Ответ: -6