Найдите наибольшее значение функции y = ln(8x) – 8х + 7 на отрезке [].

Рассмотрим функцию $$y = \ln(8x) - 8x + 7$$ на отрезке $$\left[\frac{1}{16}; \frac{5}{16}\right]$$

1) Найдем производную функции:

$$y' = \frac{1}{x} - 8$$

2) Найдем критические точки (точки, где производная равна 0 или не существует):

$$\frac{1}{x} - 8 = 0$$

$$\frac{1}{x} = 8$$

$$x = \frac{1}{8}$$

3) Проверим, принадлежит ли найденная точка заданному отрезку:

$$\frac{1}{16} \le \frac{1}{8} \le \frac{5}{16}$$

Да, $$\frac{1}{8}$$ принадлежит отрезку $$\left[\frac{1}{16}; \frac{5}{16}\right]$$

4) Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

$$y\left(\frac{1}{16}\right) = \ln\left(8 \cdot \frac{1}{16}\right) - 8 \cdot \frac{1}{16} + 7 = \ln\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} + 7 = -\ln(2) + 6.5 \approx -0.693 + 6.5 = 5.807$$

$$y\left(\frac{5}{16}\right) = \ln\left(8 \cdot \frac{5}{16}\right) - 8 \cdot \frac{5}{16} + 7 = \ln\left(\frac{5}{2}\right) - \frac{5}{2} + 7 = \ln(2.5) + 4.5 \approx 0.916 + 4.5 = 5.416$$

$$y\left(\frac{1}{8}\right) = \ln\left(8 \cdot \frac{1}{8}\right) - 8 \cdot \frac{1}{8} + 7 = \ln(1) - 1 + 7 = 0 - 1 + 7 = 6$$

5) Выберем наибольшее значение функции из полученных:

Наибольшее значение: 6

Ответ: 6