Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 даёт в остатке 1, а при делении на 9 даёт в остатке 3.

Рассмотрим задачу. Пусть число x удовлетворяет условиям x ≡ 1 (mod 7) и x ≡ 3 (mod 9). Используем метод подстановки. Поскольку x ≡ 1 (mod 7), то x = 7k + 1 для некоторого целого числа k. Подставим это в второе сравнение: 7k + 1 ≡ 3 (mod 9). Упростим: 7k ≡ 2 (mod 9). Так как 7 ≡ -2 (mod 9), получаем -2k ≡ 2 (mod 9), или 2k ≡ -2 ≡ 7 (mod 9). Найдём наименьшее k, удовлетворяющее этому: k = 2. Тогда x = 7k + 1 = 7*2 + 1 = 15. Проверим: 15 ≡ 1 (mod 7) и 15 ≡ 3 (mod 9), оба условия выполняются. Ответ: 15.