Найдите наименьшее натуральное число, при делении которого на 2²/₇, на 2²/₅ и на 2²/₁₁ в результате будут получены натуральные числа.

Решение:

Пусть искомое число — \( N \). Условие задачи означает, что \( N \) должно делиться без остатка на \( 2\frac{2}{7} \), \( 2\frac{2}{5} \) и \( 2\frac{2}{11} \). Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

• \( 2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7} \)
• \( 2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{12}{5} \)
• \( 2\frac{2}{11} = \frac{2 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{24}{11} \)

Это значит, что \( N \) должно быть кратно этим дробям. Для нахождения наименьшего натурального числа \( N \), оно должно быть наименьшим общим кратным (НОК) для этих дробей.

Для нахождения НОК дробей \( \frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f} \) используется формула: \( \text{НОК}(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f}) = \frac{\text{НОК}(a, c, e)}{\text{НОД}(b, d, f)} \).

В нашем случае дроби \( \frac{16}{7}, \frac{12}{5}, \frac{24}{11} \). Следовательно, нам нужно найти:

• НОК чисел 16, 12, 24.
• НОД чисел 7, 5, 11.

1. Найдём НОК(16, 12, 24):

• Разложим числа на простые множители:
• \( 16 = 2^4 \)
• \( 12 = 2^2 \cdot 3 \)
• \( 24 = 2^3 \cdot 3 \)
• НОК берётся как произведение старших степеней всех множителей:
• \( \text{НОК}(16, 12, 24) = 2^4 \cdot 3 = 16 \cdot 3 = 48 \).

2. Найдём НОД(7, 5, 11):

• Числа 7, 5, 11 — простые числа. Их наибольший общий делитель равен 1.
• \( \text{НОД}(7, 5, 11) = 1 \).

3. Вычислим НОК дробей:

• \( \text{НОК}(\frac{16}{7}, \frac{12}{5}, \frac{24}{11}) = \frac{\text{НОК}(16, 12, 24)}{\text{НОД}(7, 5, 11)} = \frac{48}{1} = 48 \).

Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию, равно 48.

Проверим:

• \( 48 : \frac{16}{7} = 48 \cdot \frac{7}{16} = 3 \cdot 7 = 21 \) (натуральное число).
• \( 48 : \frac{12}{5} = 48 \cdot \frac{5}{12} = 4 \cdot 5 = 20 \) (натуральное число).
• \( 48 : \frac{24}{11} = 48 \cdot \frac{11}{24} = 2 \cdot 11 = 22 \) (натуральное число).

Ответ: 48.