9. Найдите наименьшее целое решение неравенства\(\frac{f'(x)}{g'(x)} \ge 0\), если f(x)=x³-12x, g(x)=(x-2)² . 10. Найдите производную функции f(x)=\(\sqrt{4x+1}\), пользуясь определением производной.

Решение задания 9:

Ответ: -3

Шаг 1: Находим производные функций f(x) и g(x).

• Производная функции f(x) = x³ - 12x:
\[f'(x) = 3x^2 - 12\]
• Производная функции g(x) = (x - 2)²:
\[g'(x) = 2(x - 2)\]

Шаг 2: Решаем неравенство \(\frac{f'(x)}{g'(x)} \ge 0\). \[\frac{3x^2 - 12}{2(x - 2)} \ge 0\] Шаг 3: Упрощаем неравенство. \[\frac{3(x^2 - 4)}{2(x - 2)} \ge 0\] \[\frac{3(x - 2)(x + 2)}{2(x - 2)} \ge 0\] Шаг 4: Сокращаем (x - 2) при условии x ≠ 2. \[(x + 2) \ge 0, x ≠ 2\] Шаг 5: Решаем неравенство (x + 2) ≥ 0. \[x \ge -2\] Шаг 6: Учитываем условие x ≠ 2.

Решением являются все x ≥ -2, кроме x = 2.

Шаг 7: Находим наименьшее целое решение.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее условию x ≥ -2, это -2.

Проверим значения на числовой прямой с учетом условия x ≠ 2.

----(-2)----(2)---->
    +       -      +

Минимальное целое значение x, при котором неравенство выполняется: x = -2

Однако в исходном неравенстве есть \(g'(x)\) в знаменателе, поэтому нужно проверить знак производных при x = -2.

Шаг 8: Проверяем значения x = -3 и x = -1.

• При x = -3:
\[f'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15\] \[g'(-3) = 2(-3 - 2) = 2(-5) = -10\] \[\frac{f'(-3)}{g'(-3)} = \frac{15}{-10} = -1.5 \le 0\]

Неравенство не выполняется.

• При x = -1:
\[f'(-1) = 3(-1)^2 - 12 = 3(1) - 12 = 3 - 12 = -9\] \[g'(-1) = 2(-1 - 2) = 2(-3) = -6\] \[\frac{f'(-1)}{g'(-1)} = \frac{-9}{-6} = 1.5 \ge 0\]

Неравенство выполняется.

Наименьшее целое решение: -3.

Ответ: -3

Решение задания 10:

Ответ: \(f'(x) = \frac{2}{\sqrt{4x+1}}\)

Шаг 1: Записываем определение производной. \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\] Шаг 2: Находим f(x + h). \[f(x + h) = \sqrt{4(x + h) + 1} = \sqrt{4x + 4h + 1}\] Шаг 3: Подставляем f(x + h) и f(x) в определение производной. \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4x + 4h + 1} - \sqrt{4x + 1}}{h}\] Шаг 4: Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение. \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{4x + 4h + 1} - \sqrt{4x + 1})(\sqrt{4x + 4h + 1} + \sqrt{4x + 1})}{h(\sqrt{4x + 4h + 1} + \sqrt{4x + 1})}\] Шаг 5: Упрощаем числитель. \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(4x + 4h + 1) - (4x + 1)}{h(\sqrt{4x + 4h + 1} + \sqrt{4x + 1})}\] \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{4h}{h(\sqrt{4x + 4h + 1} + \sqrt{4x + 1})}\] Шаг 6: Сокращаем h. \[f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{4}{\sqrt{4x + 4h + 1} + \sqrt{4x + 1}}\] Шаг 7: Вычисляем предел при h → 0. \[f'(x) = \frac{4}{\sqrt{4x + 4(0) + 1} + \sqrt{4x + 1}}\] \[f'(x) = \frac{4}{\sqrt{4x + 1} + \sqrt{4x + 1}}\] \[f'(x) = \frac{4}{2\sqrt{4x + 1}}\] Шаг 8: Упрощаем выражение. \[f'(x) = \frac{2}{\sqrt{4x + 1}}\]

Ответ: \(f'(x) = \frac{2}{\sqrt{4x+1}}\)