Найдите наименьшее целое решение совокупности \[\begin{cases} x^2-3x \le 0 \\ x > -2.5 \end{cases}\]

Решение

Давай разберем по порядку, как решить данную совокупность неравенств. Сначала найдем решение первого неравенства, а затем учтем ограничение, заданное вторым неравенством.

1. Решение первого неравенства:

\[x^2 - 3x \le 0\] Вынесем x за скобки: \[x(x - 3) \le 0\]

Теперь найдем корни уравнения \[x(x - 3) = 0\]:

\[x_1 = 0, \quad x_2 = 3\]

Определим интервалы, на которых неравенство выполняется. Для этого можно нарисовать числовую прямую и отметить на ней корни 0 и 3. Проверим знаки на каждом интервале:

• \[x < 0\]: Подставим \[x = -1\]: \[(-1)(-1 - 3) = (-1)(-4) = 4 > 0\] (не подходит)
• \[0 < x < 3\]: Подставим \[x = 1\]: \[(1)(1 - 3) = (1)(-2) = -2 < 0\] (подходит)
• \[x > 3\]: Подставим \[x = 4\]: \[(4)(4 - 3) = (4)(1) = 4 > 0\] (не подходит)

Таким образом, решение первого неравенства: \[0 \le x \le 3\]

2. Учет второго неравенства:

У нас есть второе неравенство: \[x > -2.5\]

3. Нахождение общего решения:

Теперь нам нужно найти пересечение решений первого и второго неравенств. У нас есть: \[0 \le x \le 3\] \[x > -2.5\]

Общее решение будет: \[0 \le x \le 3\]

4. Нахождение наименьшего целого решения:

Нам нужно найти наименьшее целое число, которое удовлетворяет условию \[0 \le x \le 3\]. Очевидно, что это число 0.

Ответ: 0

Отлично, у тебя все получилось! Ты хорошо справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и все обязательно получится!