Найдите наименьшее целое значение х, при котором неравенство (1/3)^(1/4) > 3^(1/x) справедливо

Решение:

Нам нужно найти наименьшее целое значение \( x \), для которого верно неравенство \( \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{1}{4}} > 3^{\frac{1}{x}} \).

Преобразуем левую часть неравенства:

\( \left( \frac{1}{3} \right)^{\frac{1}{4}} = \left( 3^{-1} \right)^{\frac{1}{4}} = 3^{-\frac{1}{4}} \)

Теперь неравенство выглядит так:

\[ 3^{-\frac{1}{4}} > 3^{\frac{1}{x}} \]

Поскольку основание степени \( 3 > 1 \), мы можем сравнить показатели степеней, сохранив знак неравенства:

\[ -\frac{1}{4} > \frac{1}{x} \]

Чтобы решить это неравенство, перенесём всё в одну сторону:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{4} < 0 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{4 + x}{4x} < 0 \]

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя. Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.

Случай 1: Числитель положительный, знаменатель отрицательный.

• \( 4 + x > 0 \) \( \Rightarrow x > -4 \)
• \( 4x < 0 \) \( \Rightarrow x < 0 \)

Объединяя эти условия, получаем: \( -4 < x < 0 \).

Случай 2: Числитель отрицательный, знаменатель положительный.

• \( 4 + x < 0 \) \( \Rightarrow x < -4 \)
• \( 4x > 0 \) \( \Rightarrow x > 0 \)

Эти условия несовместимы, поэтому этот случай не даёт решений.

Таким образом, решением неравенства \( \frac{4 + x}{4x} < 0 \) является интервал \( (-4, 0) \).

Нам нужно найти наименьшее целое значение \( x \) из этого интервала. Целые числа в интервале \( (-4, 0) \) — это \( -3, -2, -1 \). Наименьшим из них является \( -3 \).

Проверка:

Если \( x = -3 \), то \( \frac{1}{-3} = - \frac{1}{3} \). Неравенство: \( -\frac{1}{4} > -\frac{1}{3} \). Это верно, так как \( -0.25 > -0.333... \).

Ответ: -3