Найдите наименьшее целое значение параметра a, при котором неравенство \(\sqrt{\frac{2x+a}{x-1}}-2\sqrt{\frac{x-1}{2x+a}}\le 1\) не выполняется ровно для 3000 целых значений x.

Обозначим \(t=\sqrt{\frac{2x+a}{x-1}}>0\). Тогда \(\sqrt{\frac{x-1}{2x+a}}=\frac1t\), и неравенство принимает вид

\[t-\frac2t\le1.\]

Так как \(t>0\), умножаем на \(t\):

\[t^2-t-2\le0,\qquad (t-2)(t+1)\le0.\]

Следовательно, \(0

\[0<\frac{2x+a}{x-1}\le4.\]

Неравенство не выполняется при допустимых значениях, для которых

\[\frac{2x+a}{x-1}>4.\]

Преобразуем:

\[\frac{2x+a-4x+4}{x-1}>0,\qquad \frac{a+4-2x}{x-1}>0.\]

При \(a\ge -2\) это равносильно

\[1

Число целых значений \(x\) в этом интервале равно \(\left\lceil\frac{a+4}{2}\right\rceil-2\). По условию оно равно 3000:

\[\left\lceil\frac{a+4}{2}\right\rceil-2=3000,\qquad \left\lceil\frac{a+4}{2}\right\rceil=3002.\]

Наименьшее целое \(a\), удовлетворяющее этому условию, находится из \(3001<\frac{a+4}{2}\le3002\):

\[6002

Следовательно, \(a=6000\).

Ответ: 6000.