Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика20. Найдите наименьшее целое значение переменной а, при котором имеет смысл выражение √2a²+11a+12+√10-3a-a²
Ответ:
Привет! Разберемся с этим заданием вместе. Наша задача – найти наименьшее целое значение переменной a, при котором выражение имеет смысл. Это значит, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
Логика такая:
- Определить ОДЗ (область допустимых значений) для каждого квадратного корня.
- Найти пересечение этих ОДЗ.
- Выбрать наименьшее целое число из полученного интервала.
Решение:
Чтобы выражение имело смысл, необходимо выполнение двух условий:
- \[2a^2 + 11a + 12 \ge 0\]
- \[10 - 3a - a^2 \ge 0\]
Решаем первое неравенство:
Показать решение неравенства 2a² + 11a + 12 ≥ 0
- Находим корни квадратного уравнения \(2a^2 + 11a + 12 = 0\):
- Решением неравенства \(2a^2 + 11a + 12 \ge 0\) являются интервалы \(a \le -4\) или \(a \ge -1.5\).
Дискриминант: \(D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot 12 = 121 - 96 = 25\)
Корни: \(a_1 = \frac{-11 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 + 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5\), \(a_2 = \frac{-11 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 - 5}{4} = \frac{-16}{4} = -4\)
Решаем второе неравенство:
Показать решение неравенства 10 - 3a - a² ≥ 0
- Умножаем на -1 и меняем знак неравенства: \(a^2 + 3a - 10 \le 0\)
- Находим корни квадратного уравнения \(a^2 + 3a - 10 = 0\):
- Решением неравенства \(a^2 + 3a - 10 \le 0\) является интервал \(-5 \le a \le 2\).
Дискриминант: \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\)
Корни: \(a_1 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2\), \(a_2 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5\)
Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:
- Первое неравенство: \(a \le -4\) или \(a \ge -1.5\)
- Второе неравенство: \(-5 \le a \le 2\)
Пересечением этих решений будут интервалы \([-5; -4]\) и \([-1.5; 2]\).
Наименьшее целое значение переменной a, принадлежащее этим интервалам, это -5.
Ответ: -5
Проверка за 10 секунд: Подставим a = -5 в исходное выражение: √2(-5)²+11(-5)+12+√10-3(-5)-(-5)² = √50-55+12+√10+15-25 = √7 + √0. Выражение имеет смысл.
Доп. профит: Редфлаг: Всегда проверяй ОДЗ, когда работаешь с корнями или дробями. Это поможет избежать ошибок и найти верное решение!
