Найдите наименьшее целое значение x, при котором неравенство (1/3)^(1/4) > 3^(1/x) справедливо

Решение:

Дано неравенство: \( \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{4}} > 3^{\frac{1}{x}} \)

1. Представим \( \frac{1}{3} \) как \( 3^{-1} \): \( \left(3^{-1}\right)^{\frac{1}{4}} > 3^{\frac{1}{x}} \)
2. Применим свойство степени \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \): \( 3^{-\frac{1}{4}} > 3^{\frac{1}{x}} \)
3. Так как основание степени \( 3 > 1 \), при сравнении степеней сохраняем знак неравенства: \( -\frac{1}{4} > \frac{1}{x} \)
4. Перенесем все в одну сторону: \( -\frac{1}{4} - \frac{1}{x} > 0 \)
5. Приведем к общему знаменателю \( 4x \): \( \frac{-x - 4}{4x} > 0 \)
6. Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны быть либо оба положительными, либо оба отрицательными.
7. Случай 1: \( -x - 4 > 0 \) и \( 4x > 0 \)
• \( -x > 4 \) \( \Rightarrow x < -4 \)
• \( x > 0 \)
• Нет решений, так как \( x \) не может быть одновременно меньше -4 и больше 0.
8. Случай 2: \( -x - 4 < 0 \) и \( 4x < 0 \)
• \( -x < 4 \) \( \Rightarrow x > -4 \)
• \( x < 0 \)
• Решением этого случая является интервал \( -4 < x < 0 \).
9. Мы ищем наименьшее целое значение \( x \) из этого интервала. Целые числа в интервале \( (-4, 0) \) — это \( -3, -2, -1 \).
10. Наименьшее из них — \( -3 \).

Ответ: -3