Найдите наименьшее значение функции \( y = 111 \cos x + 113x + 69 \) на отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции:

\[y' = (111 \cos x + 113x + 69)' = -111 \sin x + 113\]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[-111 \sin x + 113 = 0\]\[\sin x = \frac{113}{111}\]

Так как \( \frac{113}{111} > 1 \), уравнение не имеет решений, поскольку область значений синуса ограничена \( [-1; 1] \).

3. Проверим значения функции на концах отрезка:

\[y(0) = 111 \cos 0 + 113 \cdot 0 + 69 = 111 + 0 + 69 = 180\]\[y(\frac{3\pi}{2}) = 111 \cos (\frac{3\pi}{2}) + 113 \cdot \frac{3\pi}{2} + 69 = 111 \cdot 0 + 113 \cdot \frac{3\pi}{2} + 69 = 0 + \frac{339\pi}{2} + 69 = \frac{339\pi}{2} + 69\]

Теперь сравним значения \( 180 \) и \( \frac{339\pi}{2} + 69 \).

\[\frac{339\pi}{2} + 69 \approx \frac{339 \cdot 3.14}{2} + 69 \approx 532.47 + 69 \approx 601.47\]

Таким образом, наименьшее значение функции достигается в точке \( x = 0 \).

Ответ: 180