Найдите наименьшее значение функции : а) У = : a) y = (x-8)et-7 на отрезке [6;8]

Решение:

1. Шаг 1: Находим производную функции: \[y = (x-8)e^{x-7}\] \[y' = e^{x-7} + (x-8)e^{x-7} = e^{x-7}(1 + x - 8) = e^{x-7}(x - 7)\]
2. Шаг 2: Находим критические точки, приравняв производную к нулю: \[e^{x-7}(x - 7) = 0\] Так как \(e^{x-7}\) всегда больше нуля, то: \[x - 7 = 0\] \[x = 7\]
3. Шаг 3: Проверяем, принадлежит ли критическая точка отрезку [6; 8]. Так как 7 принадлежит отрезку [6; 8], то продолжаем.
4. Шаг 4: Вычисляем значение функции на концах отрезка и в критической точке:
   • \(y(6) = (6 - 8)e^{6-7} = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}\)
   • \(y(7) = (7 - 8)e^{7-7} = -1e^{0} = -1\)
   • \(y(8) = (8 - 8)e^{8-7} = 0e^{1} = 0\)
5. Шаг 5: Сравниваем полученные значения и выбираем наименьшее: Сравниваем \(-\frac{2}{e}\), -1 и 0. Так как \(e \approx 2.71\), то \(-\frac{2}{e} \approx -\frac{2}{2.71} \approx -0.74\) Наименьшее значение: -1.

Ответ: -1