Найдите наименьшее значение функции: а) 6) y=3x-ln(x+3)3 на отрезке [-2,5; 0]

Решение:

1. Находим производную функции:

   Функция имеет вид \( y = 3x - \ln((x+3)^3) \). Сначала упростим функцию, используя свойство логарифмов: \( \ln(a^b) = b \ln(a) \). Тогда функция примет вид:

   \[ y = 3x - 3\ln(x+3) \]

   Теперь найдем производную:

   \[ y' = 3 - 3 \cdot \frac{1}{x+3} = 3 - \frac{3}{x+3} \]

2. Находим критические точки:

   Приравняем производную к нулю и найдем значения x:

   \[ 3 - \frac{3}{x+3} = 0 \]

   \[ \frac{3}{x+3} = 3 \]

   \[ x+3 = 1 \]

   \[ x = -2 \]

3. Проверяем концы отрезка и критические точки:

   Отрезок задан как [-2.5; 0]. Найденная критическая точка \( x = -2 \) принадлежит этому отрезку.

   Вычислим значения функции в точках \( x = -2.5 \), \( x = -2 \) и \( x = 0 \):

   • \( y(-2.5) = 3(-2.5) - 3\ln(-2.5+3) = -7.5 - 3\ln(0.5) \)
   • \( y(-2) = 3(-2) - 3\ln(-2+3) = -6 - 3\ln(1) = -6 - 0 = -6 \)
   • \( y(0) = 3(0) - 3\ln(0+3) = 0 - 3\ln(3) = -3\ln(3) \)

   Приближенные значения:

   • \( y(-2.5) \approx -7.5 - 3(-0.693) = -7.5 + 2.079 \approx -5.421 \)
   • \( y(-2) = -6 \)
   • \( y(0) \approx -3(1.099) \approx -3.297 \)

   Из этих значений видно, что наименьшее значение функции на отрезке [-2.5; 0] достигается в точке \( x = -2 \).

Ответ: -6