Найдите наименьшее значение функции у = \frac{2x²-9x+8}{x} на отрезке [0,5; 10].

Преобразуем функцию: $$y = \frac{2x^2 - 9x + 8}{x} = 2x - 9 + \frac{8}{x}$$.

Найдем производную функции: $$y' = (2x - 9 + \frac{8}{x})' = 2 - \frac{8}{x^2}$$.

Приравняем производную к нулю: $$2 - \frac{8}{x^2} = 0$$

$$\frac{8}{x^2} = 2$$

$$x^2 = 4$$

$$x = \pm 2$$.

Проверим, какие из этих точек принадлежат отрезку [0,5; 10].

$$x = 2$$ принадлежит отрезку, а $$x = -2$$ не принадлежит.

Вычислим значение функции в точке $$x = 2$$ и на концах отрезка:

$$y(0.5) = 2 \cdot 0.5 - 9 + \frac{8}{0.5} = 1 - 9 + 16 = 8$$

$$y(2) = 2 \cdot 2 - 9 + \frac{8}{2} = 4 - 9 + 4 = -1$$

$$y(10) = 2 \cdot 10 - 9 + \frac{8}{10} = 20 - 9 + 0.8 = 11.8$$

Наименьшее значение функции на отрезке [0,5; 10] равно -1.

Ответ: -1