12. Найдите наименьшее значение функции у = (6x²+36x-36)·ех на отрезке [-5; 3].

Найдем производную функции:

$$y' = (6x^2+36x-36)'e^x + (6x^2+36x-36)(e^x)'$$
$$y' = (12x+36)e^x + (6x^2+36x-36)e^x$$
$$y' = (6x^2+48x)e^x$$
$$y' = 6x(x+8)e^x$$

Найдем критические точки, приравняв производную к 0:

$$6x(x+8)e^x = 0$$
$$x=0$$ или $$x=-8$$

На заданном отрезке [-5; 3] лежит только точка x=0.

Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

$$y(-5) = (6(-5)^2 + 36(-5) - 36)e^{-5} = (150 - 180 - 36)e^{-5} = -66e^{-5} \approx -0.442$$

$$y(0) = (6(0)^2 + 36(0) - 36)e^0 = -36$$

$$y(3) = (6(3)^2 + 36(3) - 36)e^3 = (54 + 108 - 36)e^3 = 126e^3 \approx 2527.7$$

Наименьшее значение функции на заданном отрезке равно -36.

Ответ: -36