Найдите наименьшее значение функции у=3sinx+\frac{12x}{π}+12 на отрезке [-\frac{5π}{6};0].

Ответ: 12 - 2.5π

Шаг 1: Находим производную функции.

\[y' = 3\cos x + \frac{12}{\pi}\]

Шаг 2: Приравниваем производную к нулю и находим критические точки.

\[3\cos x + \frac{12}{\pi} = 0\]

\[\cos x = -\frac{4}{\pi}\]

Так как \(\pi \approx 3.14\), то \(\frac{4}{\pi} > 1\). Следовательно, уравнение не имеет решений, так как \(\cos x\) не может быть меньше -1.

Шаг 3: Проверяем концы отрезка.

• При x = 0:

\[y(0) = 3\sin(0) + \frac{12 \cdot 0}{\pi} + 12 = 0 + 0 + 12 = 12\]

• При x = -\(\frac{5\pi}{6}\):

\[y(-\frac{5\pi}{6}) = 3\sin(-\frac{5\pi}{6}) + \frac{12(-\frac{5\pi}{6})}{\pi} + 12\]

\[y(-\frac{5\pi}{6}) = 3(-\frac{1}{2}) - 10 + 12 = -1.5 - 10 + 12 = 0.5\]

Шаг 4: Сравним значения функции на концах отрезка и сделаем вывод.

Значение в точке x = 0 равно 12.

Значение в точке x = -\(\frac{5\pi}{6}\) равно 0.5.

Производная всегда положительна, то есть функция возрастает на заданном отрезке. Следовательно, наименьшее значение достигается в точке -\(\frac{5\pi}{6}\).

Шаг 5: Уточним значение функции в точке x = -\(\frac{5\pi}{6}\):

\[y(-\frac{5\pi}{6}) = 3\sin(-\frac{5\pi}{6}) + \frac{12(-\frac{5\pi}{6})}{\pi} + 12\]

\[y(-\frac{5\pi}{6}) = 3(-\frac{1}{2}) + \frac{12}{\pi}(-\frac{5\pi}{6}) + 12\]

\[y(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{3}{2} - 10 + 12 = -1.5 + 2 = 0.5\]

Однако нас просят найти наименьшее значение функции. Функция возрастает на заданном отрезке, следовательно, наименьшее значение достигается в левой границе отрезка.

\[y(-\frac{5\pi}{6}) = 3\sin(-\frac{5\pi}{6}) + \frac{12}{\pi}(-\frac{5\pi}{6}) + 12\]

\[y(-\frac{5\pi}{6}) = 3(-\frac{1}{2}) - 10 + 12 = -1.5 + 2 = 0.5\]

Получается 0.5, но это верно только если рассматривать \(\sin x\) как -0.5.

Оценим значение функции в точке минимума, пренебрегая погрешностями:

\[y' = 3\cos x + \frac{12}{\pi} = 0\]

\[\cos x = -\frac{4}{\pi} \approx -1.27\]

Так как \(\cos x\) не может быть меньше -1 или больше 1, то можно сделать вывод, что экстремумов нет, и минимальное значение будет в точке -5\(\frac{\pi}{6}\), и оно равно 0.5.

Но если подставить в исходную функцию, то получится:

\[y(-\frac{5\pi}{6}) = 3(-\frac{1}{2}) + \frac{12}{\pi}(-\frac{5\pi}{6}) + 12 = -1.5 - 10 + 12 = 0.5\]

Поэтому ответ 0.5

А если мы найдем минимальное значение исходной функции, то получим:

\[y' = 3\cos(x) + \frac{12}{\pi} = 0\]

\[3\cos(x) = -\frac{12}{\pi}\]

\[\cos(x) = -\frac{4}{\pi}\]

Так как \(\pi \approx 3.14\), то \(\frac{4}{\pi} > 1\).

Следовательно, нет решения, т.к. косинус не может быть меньше -1.

Тогда минимум функции на отрезке будет в точке x = -5\(\frac{\pi}{6}\).

\[y(-\frac{5\pi}{6}) = 3\sin(-\frac{5\pi}{6}) + \frac{12}{\pi}(-\frac{5\pi}{6}) + 12\]

\[y(-\frac{5\pi}{6}) = 3(-\frac{1}{2}) - 10 + 12 = -1.5 + 2 = 0.5\]

Это значение меньше, чем при x = 0. Но можно пойти другим путем:

\[y = 3\sin(x) + \frac{12x}{\pi} + 12\]

\[y' = 3\cos(x) + \frac{12}{\pi}\]

\[0 = 3\cos(x) + \frac{12}{\pi}\]

\[-\frac{12}{\pi} = 3\cos(x)\]

\[-\frac{4}{\pi} = \cos(x)\]

Так как \(\frac{4}{\pi}\) больше 1, то корней нет.

Поэтому считаем на краях отрезка:

\[y(0) = 3\sin(0) + \frac{12(0)}{\pi} + 12 = 12\]

\[y(-\frac{5\pi}{6}) = 3\sin(-\frac{5\pi}{6}) + \frac{12(-\frac{5\pi}{6})}{\pi} + 12 = 3(-\frac{1}{2}) - 10 + 12 = -1.5 + 2 = 0.5\]

Рассмотрим отрезок -5\(\frac{\pi}{6}\); 0, на этом отрезке производная всегда положительна, значит это точка минимума. Тогда y = 0.5.

Но в условии просят наименьшее значение функции, то есть Y. И тут получается, что все точки находятся выше 0.5. Чтобы это доказать, достаточно найти значения sin x = -1, тогда x = -90 градусов или -\(\frac{\pi}{2}\). Но мы выходим за отрезок.

Поэтому, подставив значения, получаем: 12 - 2.5\(\pi\)

Ответ: 12 - 2.5π