Найдите наименьшее значение функции у=-=-x√x+3x-8 на отрезке [4; 36].

Для нахождения наименьшего значения функции $$y = -\frac{2}{5}x\sqrt{x} + 3x - 8$$ на отрезке [4; 36] необходимо:

1. Найти производную функции.
2. Приравнять производную к нулю и найти критические точки.
3. Проверить, входят ли критические точки в заданный отрезок.
4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку.
5. Выбрать наименьшее значение.

1. Найдем производную функции:

$$y' = -\frac{2}{5}(\sqrt{x} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}) + 3 = -\frac{2}{5}(\sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}}) + 3 = -\frac{2}{5}(\frac{2x + x}{2\sqrt{x}}) + 3 = -\frac{2}{5}(\frac{3x}{2\sqrt{x}}) + 3 = -\frac{3x}{5\sqrt{x}} + 3$$

Упростим производную:

$$y' = -\frac{3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{5\sqrt{x}} + 3 = -\frac{3\sqrt{x}}{5} + 3$$

2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки:

$$-\frac{3\sqrt{x}}{5} + 3 = 0$$ $$\frac{3\sqrt{x}}{5} = 3$$ $$3\sqrt{x} = 15$$ $$\sqrt{x} = 5$$ $$x = 25$$

3. Проверим, входит ли критическая точка в отрезок [4; 36].

Так как 25 входит в отрезок [4; 36], то эта точка нам подходит.

4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в критической точке:

При x = 4:

$$y(4) = -\frac{2}{5} \cdot 4 \cdot \sqrt{4} + 3 \cdot 4 - 8 = -\frac{2}{5} \cdot 4 \cdot 2 + 12 - 8 = -\frac{16}{5} + 4 = -3.2 + 4 = 0.8$$

При x = 25:

$$y(25) = -\frac{2}{5} \cdot 25 \cdot \sqrt{25} + 3 \cdot 25 - 8 = -\frac{2}{5} \cdot 25 \cdot 5 + 75 - 8 = -50 + 75 - 8 = 17$$

При x = 36:

$$y(36) = -\frac{2}{5} \cdot 36 \cdot \sqrt{36} + 3 \cdot 36 - 8 = -\frac{2}{5} \cdot 36 \cdot 6 + 108 - 8 = -\frac{432}{5} + 100 = -86.4 + 100 = 13.6$$

5. Выберем наименьшее значение:

Сравниваем значения: y(4) = 0.8, y(25) = 17, y(36) = 13.6.

Наименьшее значение функции на отрезке [4; 36] равно 0.8.

Ответ: 0.8