Найдите наименьшее значение функции y=-\frac{2}{5}x\sqrt{x}+3x-8 на отрезке [4; 36].

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке, необходимо найти производную функции, определить критические точки и проверить значения функции на концах отрезка и в критических точках.

1. Найдем производную функции:

$$y = -\frac{2}{5}x\sqrt{x}+3x-8 = -\frac{2}{5}x^{\frac{3}{2}}+3x-8$$

$$y' = -\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}+3$$

$$y' = -\frac{3}{5}\sqrt{x}+3$$

2. Найдем критические точки (где y'=0):

$$- \frac{3}{5}\sqrt{x}+3 = 0$$

$$\frac{3}{5}\sqrt{x} = 3$$

$$\sqrt{x} = 5$$

$$x = 25$$

3. Проверим значение функции в критической точке x = 25 и на концах отрезка [4; 36]:

При x = 4:

$$y(4) = -\frac{2}{5} \cdot 4 \cdot \sqrt{4}+3 \cdot 4 - 8$$

$$y(4) = -\frac{2}{5} \cdot 4 \cdot 2+12 - 8 = -\frac{16}{5} + 4 = -3.2 + 4 = 0.8$$

При x = 25:

$$y(25) = -\frac{2}{5} \cdot 25 \cdot \sqrt{25}+3 \cdot 25 - 8 = -\frac{2}{5} \cdot 25 \cdot 5 + 75 - 8 = -50 + 75 - 8 = 17$$

При x = 36:

$$y(36) = -\frac{2}{5} \cdot 36 \cdot \sqrt{36}+3 \cdot 36 - 8 = -\frac{2}{5} \cdot 36 \cdot 6 + 108 - 8 = -\frac{432}{5} + 100 = -86.4 + 100 = 13.6$$

4. Сравниваем значения функции в этих точках: y(4) = 0.8, y(25) = 17, y(36) = 13.6. Наименьшее значение функции y(x) на отрезке [4; 36] достигается при x = 4 и равно 0.8.

Ответ: 0,8