12. Найдите наименьшее значение функции y = 9x − ln(x + 5)9

Ответ: -9ln(6) + 9

1. Находим производную функции: \[y' = 9 - \frac{9}{x+5}\]
2. Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: \[9 - \frac{9}{x+5} = 0\] \[\frac{9}{x+5} = 9\] \[x+5 = 1\] \[x = -4\]
3. Проверяем, является ли найденная точка точкой минимума. Для этого можно взять значения x меньше и больше -4 и подставить в производную:
   • Если x = -4.5, то y' = 9 - 9/(-4.5 + 5) = 9 - 9/0.5 = 9 - 18 = -9 (отрицательное значение)
   • Если x = -3.5, то y' = 9 - 9/(-3.5 + 5) = 9 - 9/1.5 = 9 - 6 = 3 (положительное значение)
   Так как производная меняет знак с минуса на плюс, то x = -4 является точкой минимума.
4. Находим значение функции в точке минимума: \[y(-4) = 9(-4) - \ln((-4) + 5)^9 = -36 - \ln(1)^9 = -36 - 0 = -36\]
5. Рассмотрим исходную функцию: \[y = 9x - \ln(x + 5)^9 = 9x - 9\ln(x + 5)\] Найдем производную функции:\[y' = 9 - \frac{9}{x+5}\] Приравняем производную к нулю:\[9 - \frac{9}{x+5} = 0\] Решим уравнение:\[9 = \frac{9}{x+5}\]\[x+5 = 1\]\[x = -4\] Найдем значение функции в точке x = -4:\[y(-4) = 9(-4) - 9\ln(-4+5) = -36 - 9\ln(1) = -36 - 0 = -36\] Проверим, что это минимум, вычислив вторую производную:\[y'' = \frac{9}{(x+5)^2}\] В точке x = -4 вторая производная положительна:\[y''(-4) = \frac{9}{(-4+5)^2} = 9 > 0\] Следовательно, x = -4 - точка минимума. Вычислим значение функции в этой точке:y(-4) = 9 \cdot (-4) - \ln((-4+5)^9) = -36 - \ln(1^9) = -36 - 0 = -36 Определим область определения:x + 5 > 0 => x > -5 Рассмотрим поведение функции на концах области определения: При x -> -5^+:\[\lim_{x \to -5^+} (9x - \ln((x+5)^9)) = 9(-5) - \ln(0^+) = -45 - (-\infty) = +\infty\] Найдем точку, где y' = 0:\[9 - \frac{9}{x+5} = 0\]\[x = -4\] Вычислим значение y в этой точке:\[y(-4) = 9(-4) - \ln((-4+5)^9) = -36 - \ln(1) = -36\]

6. Область определения функции: x > -5.
7. Найдем производную функции: y' = 9 - 9/(x+5).
8. Приравняем производную к нулю: 9 - 9/(x+5) = 0.
9. Решим уравнение: x = -4.
10. Найдем значение функции в точке x = -4: y(-4) = 9*(-4) - ln((-4+5)^9) = -36 - ln(1) = -36.
11. Исследуем функцию на монотонность: при x > -4 функция возрастает, при -5 < x < -4 функция убывает.
12. Таким образом, наименьшее значение функции достигается в точке x = -4 и равно -36.

Для более точного ответа нужно учесть область определения функции. Так как аргумент логарифма должен быть положительным, то x + 5 > 0, следовательно, x > -5. Теперь исследуем функцию на этом интервале. Найдем производную функции:\[y' = 9 - \frac{9}{x+5}\] Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:\[9 - \frac{9}{x+5} = 0\]\[\frac{9}{x+5} = 9\]\[1 = x + 5\]\[x = -4\] Теперь вычислим значение функции в этой точке:\[y(-4) = 9(-4) - \ln((-4 + 5)^9) = -36 - \ln(1^9) = -36 - 0 = -36\] Вычислим вторую производную, чтобы убедиться, что это минимум:\[y'' = \frac{9}{(x+5)^2}\] В точке x = -4, вторая производная положительна:\[y''(-4) = \frac{9}{(-4 + 5)^2} = 9 > 0\] Итак, x = -4 - точка минимума. Вычислим значение функции в этой точке:\[y(-4) = 9(-4) - \ln((-4 + 5)^9) = -36 - \ln(1) = -36\]

Для x=-4 функция принимает минимальное значение.

y' = 9 - \frac{9}{x+5} = 0

9 = \frac{9}{x+5}

x = -4

9(-4) - \ln((-4)+5)^9 = -36 - \ln(1)^9 = -36

Ответ: -36