12. Найдите наименьшее значение функции y = (x + 1)²(x + 12) — 150 на отрезке [-6; -4].

1. Находим производную функции:

   y = (x + 1)²(x + 12) - 150

   Используем правило произведения: (u \(\cdot\) v)' = u' \(\cdot\) v + u \(\cdot\) v'

   u = (x + 1)² , u' = 2(x + 1)

   v = (x + 12), v' = 1

   y' = 2(x + 1)(x + 12) + (x + 1)² \(\cdot\) 1

   y' = 2(x² + 13x + 12) + (x² + 2x + 1)

   y' = 2x² + 26x + 24 + x² + 2x + 1

   y' = 3x² + 28x + 25

2. Находим критические точки:

   Приравниваем производную к нулю:

   3x² + 28x + 25 = 0

   Решаем квадратное уравнение:

   D = 28² - 4 \(\cdot\) 3 \(\cdot\) 25 = 784 - 300 = 484

   √D = 22

   x₁ = \(\frac{-28 + 22}{2 \cdot 3}\) = \(\frac{-6}{6}\) = -1

   x₂ = \(\frac{-28 - 22}{2 \cdot 3}\) = \(\frac{-50}{6}\) = -\(\frac{25}{3}\) ≈ -8.33

3. Проверяем, какие критические точки попадают в отрезок [-6; -4]:

   x₁ = -1 не попадает в отрезок [-6; -4]

   x₂ = -\(\frac{25}{3}\) ≈ -8.33 не попадает в отрезок [-6; -4]

4. Вычисляем значения функции на концах отрезка:

   y(-6) = (-6 + 1)²(-6 + 12) - 150 = (-5)² \(\cdot\) 6 - 150 = 25 \(\cdot\) 6 - 150 = 150 - 150 = 0

   y(-4) = (-4 + 1)²(-4 + 12) - 150 = (-3)² \(\cdot\) 8 - 150 = 9 \(\cdot\) 8 - 150 = 72 - 150 = -78

Наименьшее значение функции на отрезке [-6; -4]:

Минимальное значение: -78

Ответ: -78