Найдите наименьшее значение функции y = 13x - 5sinx - 14 на отрезке [0; \(\frac{\pi}{2}\)].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = 13x - 5\sin x - 14 \) на отрезке \( \left[0; \frac{\pi}{2}\right] \) необходимо найти производную функции, её критические точки и сравнить значения функции в критических точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции: \( y' = \frac{d}{dx}(13x - 5\sin x - 14) = 13 - 5\cos x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 13 - 5\cos x = 0 \). \( 5\cos x = 13 \). \( \cos x = \frac{13}{5} \).
3. Поскольку \( \cos x \) может принимать значения только в диапазоне \( [-1; 1] \), то \( \cos x = \frac{13}{5} \) не имеет решений. Следовательно, критических точек на интервале нет.
4. Теперь найдем значения функции на концах отрезка \( \left[0; \frac{\pi}{2}\right] \):
• При \( x = 0 \): \( y(0) = 13(0) - 5\sin(0) - 14 = 0 - 5(0) - 14 = -14 \).
• При \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 13\left(\frac{\pi}{2}\right) - 5\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 14 = \frac{13\pi}{2} - 5(1) - 14 = \frac{13\pi}{2} - 19 \).
5. Сравним полученные значения. \( \frac{13\pi}{2} \approx \frac{13 \times 3.14}{2} \approx \frac{40.82}{2} \approx 20.41 \).
6. Тогда \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx 20.41 - 19 = 1.41 \).
7. Значение \( y(0) = -14 \) меньше, чем \( y\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx 1.41 \).

Ответ: -14.