Найдите наименьшее значение функции y = 16 cos x + 27х — 6 на отрезке [0; 3π/2].

Находим наименьшее значение функции

Нужно найти наименьшее значение функции \( y = 16 \cos x + 27x - 6 \) на отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \).

Шаг 1: Находим производную функции

Для начала найдём производную функции \( y \) по \( x \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(16 \cos x + 27x - 6) \]

Производная от \( 16 \cos x \) равна \( -16 \sin x \).

Производная от \( 27x \) равна \( 27 \).

Производная от \( -6 \) равна \( 0 \).

Итак, производная функции:

\[ y' = -16 \sin x + 27 \]

Шаг 2: Находим критические точки

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ -16 \sin x + 27 = 0 \]

\[ -16 \sin x = -27 \]

\[ \sin x = \frac{-27}{-16} = \frac{27}{16} \]

Так как \( \frac{27}{16} > 1 \) и \( \sin x \) никогда не может быть больше 1, то уравнение \( \sin x = \frac{27}{16} \) не имеет решений. Это значит, что на заданном отрезке нет критических точек, где производная равна нулю.

Шаг 3: Анализируем знак производной

Теперь проверим знак производной \( y' = -16 \sin x + 27 \) на отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \).

На отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \) функция \( \sin x \) принимает значения от 0 до 1.

Самое большое значение \( -16 \sin x \) будет, когда \( \sin x = 0 \) (при \( x=0 \) или \( x=\pi \)), тогда \( y' = -16 \cdot 0 + 27 = 27 \).

Самое маленькое значение \( -16 \sin x \) будет, когда \( \sin x = 1 \) (при \( x=\frac{\pi}{2} \)), тогда \( y' = -16 \cdot 1 + 27 = 11 \).

Значит, на всём отрезке \( [0; \frac{3\pi}{2}] \) производная \( y' \) положительна (от 11 до 27).

Поскольку производная положительна, функция \( y \) возрастает на этом отрезке.

Шаг 4: Находим наименьшее значение

Если функция возрастает на всём отрезке, то её наименьшее значение будет в левой границе отрезка, то есть при \( x = 0 \).

Вычислим значение функции в точке \( x = 0 \):

\[ y(0) = 16 \cos(0) + 27 \cdot 0 - 6 \]

\[ y(0) = 16 \cdot 1 + 0 - 6 \]

\[ y(0) = 16 - 6 = 10 \]

Шаг 5: Проверяем значение на правой границе

Для полноты картины вычислим значение функции на правой границе отрезка, при \( x = \frac{3\pi}{2} \):

\[ y(\frac{3\pi}{2}) = 16 \cos(\frac{3\pi}{2}) + 27 \cdot \frac{3\pi}{2} - 6 \]

Мы знаем, что \( \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 \).

\[ y(\frac{3\pi}{2}) = 16 \cdot 0 + \frac{81\pi}{2} - 6 \]

\[ y(\frac{3\pi}{2}) = \frac{81\pi}{2} - 6 \]

Значение \( \frac{81\pi}{2} \) примерно равно \( \frac{81 \cdot 3.14}{2} \approx \frac{254.34}{2} \approx 127.17 \).

Тогда \( y(\frac{3\pi}{2}) \approx 127.17 - 6 = 121.17 \).

Сравнивая значения \( y(0) = 10 \) и \( y(\frac{3\pi}{2}) \approx 121.17 \), видим, что наименьшее значение действительно достигается при \( x = 0 \).

Ответ: Наименьшее значение функции равно 10.