Найдите наименьшее значение функции y = −20 sin x + 21x − 10 на промежутке [0; π/2].

Решение:

1. Находим производную функции: \[ y' = (-20 \sin x + 21x - 10)' \] \[ y' = -20 \cos x + 21 \]
2. Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \[ -20 \cos x + 21 = 0 \] \[ \cos x = \frac{21}{20} \] Так как значение косинуса не может быть больше 1, данное уравнение не имеет решений. Это означает, что функция не имеет критических точек на промежутке.
3. Проверяем значения функции на концах промежутка:
   • При x = 0: \[ y(0) = -20 \sin(0) + 21(0) - 10 \] \[ y(0) = -20(0) + 0 - 10 \] \[ y(0) = -10 \]
   • При x = \frac{\pi}{2}: \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -20 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 21\left(\frac{\pi}{2}\right) - 10 \] \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -20(1) + \frac{21\pi}{2} - 10 \] \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -30 + \frac{21\pi}{2} \] Приблизительное значение: \(\frac{21\pi}{2} \approx \frac{21 \times 3.14}{2} \approx 32.97\) \[ y\left(\frac{\pi}{2}\right) \approx -30 + 32.97 \approx 2.97 \]
4. Сравниваем значения: На промежутке [0; \frac{\pi}{2}] функция является возрастающей, так как её производная y' = -20 cos x + 21 всегда положительна (поскольку cos x на этом промежутке находится в пределах [0; 1], то -20 cos x находится в пределах [-20; 0], и -20 cos x + 21 находится в пределах [1; 21]). Таким образом, наименьшее значение достигается на левом конце промежутка.

Ответ: -10