Найдите наименьшее значение функции y = 69 cosx+71x + 48 на отрезке [0; 3π/2].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке, вычислим производную функции и найдём её нули.

1. Найдём производную функции \( y = 69 \cos x + 71x + 48 \):
   \( y' = (69 \cos x + 71x + 48)' \)
   \( y' = -69 \sin x + 71 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( -69 \sin x + 71 = 0 \)
   \( 69 \sin x = 71 \)
   \( \sin x = \frac{71}{69} \)
3. Так как \( \frac{71}{69} > 1 \), то уравнение \( \sin x = \frac{71}{69} \) не имеет решений. Это означает, что производная \( y' = -69 \sin x + 71 \) всегда положительна, потому что максимальное значение \( \sin x \) равно 1, тогда \( -69 \cdot 1 + 71 = 2 > 0 \), а минимальное значение \( \sin x \) равно -1, тогда \( -69 \cdot (-1) + 71 = 69 + 71 = 140 > 0 \).
4. Следовательно, функция \( y = 69 \cos x + 71x + 48 \) является возрастающей на всей действительной оси, включая отрезок \( [0; \frac{3\pi}{2}] \).
5. Наименьшее значение функции на возрастающем отрезке достигается в левой границе отрезка, то есть при \( x = 0 \).
6. Вычислим значение функции при \( x = 0 \):
   \( y(0) = 69 \cos(0) + 71 \cdot 0 + 48 \)
   \( y(0) = 69 \cdot 1 + 0 + 48 \)
   \( y(0) = 69 + 48 \)
   \( y(0) = 117 \)

Ответ: 117