Найдите наименьшее значение функции y = 7 cos x - 13x + 9 на отрезке [-3π/2; 0].

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в критических точках (где производная равна нулю или не существует) и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции \( y = 7 \cos x - 13x + 9 \):

\[ y' = (7 \cos x - 13x + 9)' \]\[ y' = -7 \sin x - 13 \]

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ -7 \sin x - 13 = 0 \]\[ \sin x = -\frac{13}{7} \]

Так как \( -1 \le \sin x \le 1 \), а \( -\frac{13}{7} < -1 \), то уравнение \( \sin x = -\frac{13}{7} \) не имеет решений. Следовательно, критических точек нет.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка \( [-\frac{3\pi}{2}; 0] \).

а) При \( x = -\frac{3\pi}{2} \):

\[ y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 7 \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) - 13\left(-\frac{3\pi}{2}\right) + 9 \]\[ y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 7 \cdot 0 + \frac{39\pi}{2} + 9 \]\[ y\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \frac{39\pi}{2} + 9 \]

б) При \( x = 0 \):

\[ y(0) = 7 \cos(0) - 13 \cdot 0 + 9 \]\[ y(0) = 7 \cdot 1 - 0 + 9 \]\[ y(0) = 7 + 9 = 16 \]

4. Сравним полученные значения:

\( \frac{39\pi}{2} + 9 \) и \( 16 \).

Приближенное значение \( \pi \approx 3.14 \).

\( \frac{39 \cdot 3.14}{2} + 9 \approx \frac{122.46}{2} + 9 \approx 61.23 + 9 = 70.23 \).

Очевидно, что \( 16 < 70.23 \).

Следовательно, наименьшее значение функции на данном отрезке равно 16.

Ответ: 16.