Найдите наименьшее значение функции y = 9 + π/2 - 2x - 2√2 cos x на отрезке [0; π/2].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке, найдём её производную:

\( y = 9 + \frac{\pi}{2} - 2x - 2\sqrt{2} \cos x \)

\( y' = (9)' + (\frac{\pi}{2})' - (2x)' - (2\sqrt{2} \cos x)' \)

\( y' = 0 + 0 - 2 - 2\sqrt{2} (-\sin x) \)

\( y' = -2 + 2\sqrt{2} \sin x \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( -2 + 2\sqrt{2} \sin x = 0 \)

\( 2\sqrt{2} \sin x = 2 \)

\( \sin x = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)

На отрезке \( [0; \frac{\pi}{2}] \) значение \( \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \) достигается при \( x = \frac{\pi}{4} \).

Теперь вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:

• При \( x = 0 \): \( y(0) = 9 + \frac{\pi}{2} - 2(0) - 2\sqrt{2} \cos(0) = 9 + \frac{\pi}{2} - 0 - 2\sqrt{2}(1) = 9 + \frac{\pi}{2} - 2\sqrt{2} \approx 9 + 1.57 - 2.83 = 7.74 \)
• При \( x = \frac{\pi}{4} \): \( y(\frac{\pi}{4}) = 9 + \frac{\pi}{2} - 2(\frac{\pi}{4}) - 2\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{4}) = 9 + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} - 2\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 9 - 2(\frac{2}{2}) = 9 - 2 = 7 \)
• При \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y(\frac{\pi}{2}) = 9 + \frac{\pi}{2} - 2(\frac{\pi}{2}) - 2\sqrt{2} \cos(\frac{\pi}{2}) = 9 + \frac{\pi}{2} - \pi - 2\sqrt{2}(0) = 9 - \frac{\pi}{2} < 9 - 1.57 = 7.43 \)

Сравнивая значения, видим, что наименьшее значение функции равно 7.

Ответ: 7.