Найдите наименьшее значение функции y = 9x - ln(9x) + 3 на отрезке [1/18, 5/18].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке, необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю, найти критические точки и вычислить значение функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции \( y = 9x - \ln(9x) + 3 \):
   \( y' = (9x)' - (\ln(9x))' + (3)' \)
   \( y' = 9 - \frac{1}{9x} \cdot 9 + 0 \)
   \( y' = 9 - \frac{1}{x} \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 9 - \frac{1}{x} = 0 \)
   \( 9 = \frac{1}{x} \)
   \( x = \frac{1}{9} \)
3. Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка \( x = \frac{1}{9} \) заданному отрезку \( [\frac{1}{18}, \frac{5}{18}] \).
   \( \frac{1}{18} \approx 0.055 \)
   \( \frac{1}{9} \approx 0.111 \)
   \( \frac{5}{18} \approx 0.277 \)
   Так как \( 0.055 \le 0.111 \le 0.277 \), то критическая точка \( x = \frac{1}{9} \) принадлежит отрезку.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
• В точке \( x = \frac{1}{18} \):
  \( y = 9 \cdot \frac{1}{18} - \ln(9 \cdot \frac{1}{18}) + 3 \)
  \( y = \frac{1}{2} - \ln(\frac{1}{2}) + 3 \)
  \( y = 3.5 - \ln(0.5) \approx 3.5 - (-0.693) \approx 4.193 \)
• В точке \( x = \frac{1}{9} \):
  \( y = 9 \cdot \frac{1}{9} - \ln(9 \cdot \frac{1}{9}) + 3 \)
  \( y = 1 - \ln(1) + 3 \)
  \( y = 1 - 0 + 3 = 4 \)
• В точке \( x = \frac{5}{18} \):
  \( y = 9 \cdot \frac{5}{18} - \ln(9 \cdot \frac{5}{18}) + 3 \)
  \( y = \frac{5}{2} - \ln(\frac{5}{2}) + 3 \)
  \( y = 5.5 - \ln(2.5) \approx 5.5 - 0.916 \approx 4.584 \)
5. Сравним полученные значения: \( 4.193, 4, 4.584 \). Наименьшее значение функции равно 4.

Ответ: Наименьшее значение функции равно 4.