Найдите наименьшее значение функции $$y = e^{2x} - 6e^x + 3$$ на отрезке [1;3].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке, найдем производную функции, приравняем ее к нулю, найдем критические точки, а затем вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка.

1. Найдем производную функции \( y = e^{2x} - 6e^x + 3 \).
   Используем правило дифференцирования сложной функции: \( \frac{d}{dx}(e^{u}) = e^{u} \cdot u' \).
   \( y' = \frac{d}{dx}(e^{2x}) - \frac{d}{dx}(6e^x) + \frac{d}{dx}(3) \)
   \( y' = e^{2x} \cdot 2 - 6e^x \)
2. Приравняем производную к нулю:
   \( 2e^{2x} - 6e^x = 0 \)
   Вынесем общий множитель \( e^x \):
   \( e^x(2e^x - 6) = 0 \)
   Так как \( e^x \) всегда больше нуля, то
   \( 2e^x - 6 = 0 \)
   \( 2e^x = 6 \)
   \( e^x = 3 \)
   \( x = \ln(3) \)
3. Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка \( x = \ln(3) \) отрезку \( [1;3] \).
   Поскольку \( e^1 \approx 2.718 \) и \( e^2 \approx 7.389 \), то \( 1 < \ln(3) < 2 \).
   Следовательно, \( \ln(3) \) находится на отрезке \( [1;3] \).
4. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   При \( x = 1 \):
   \( y(1) = e^{2 \cdot 1} - 6e^1 + 3 = e^2 - 6e + 3 \)
   \( y(1) \approx (2.718)^2 - 6 \cdot 2.718 + 3 \approx 7.389 - 16.308 + 3 \approx -5.919 \)
   
   При \( x = \ln(3) \):
   \( y(\ln(3)) = e^{2\ln(3)} - 6e^{\ln(3)} + 3 \)
   Используем свойства логарифмов: \( e^{2\ln(3)} = e^{\ln(3^2)} = 3^2 = 9 \) и \( e^{\ln(3)} = 3 \).
   \( y(\ln(3)) = 9 - 6 \cdot 3 + 3 = 9 - 18 + 3 = -6 \)
   
   При \( x = 3 \):
   \( y(3) = e^{2 \cdot 3} - 6e^3 + 3 = e^6 - 6e^3 + 3 \)
   \( y(3) \approx (2.718)^6 - 6 \cdot (2.718)^3 + 3 \approx 403.429 - 6 \cdot 20.086 + 3 \approx 403.429 - 120.516 + 3 \approx 285.913 \)
5. Сравним полученные значения:
   \( y(1) \approx -5.919 \)
   \( y(\ln(3)) = -6 \)
   \( y(3) \approx 285.913 \)
6. Наименьшее значение функции на отрезке \( [1;3] \) равно -6.

Ответ: -6.