Найдите наименьшее значение функции y = \(\sqrt{x^2 - 6x + 13}\).

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = \sqrt{x^2 - 6x + 13} \), нужно найти наименьшее значение выражения под корнем \( x^2 - 6x + 13 \).

Рассмотрим квадратный трёхчлен \( f(x) = x^2 - 6x + 13 \). Это парабола с ветвями, направленными вверх. Её наименьшее значение находится в вершине.

Координата x вершины параболы вычисляется по формуле \( x_в = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 1 \) и \( b = -6 \).

\( x_в = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \).

Теперь найдём значение функции в вершине:

\( f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 13 = 9 - 18 + 13 = 4 \).

Наименьшее значение квадратного трёхчлена равно 4. Следовательно, наименьшее значение функции \( y = \sqrt{x^2 - 6x + 13} \) равно \( \sqrt{4} \).

\( y_{наим} = \sqrt{4} = 2 \).

Ответ: 2