Найдите наименьшее значение функции y = (x^2+441)/x на отрезке [2; 32].

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = \frac{x^2+441}{x} \) на отрезке \( [2; 32] \), сначала преобразуем функцию:

\( y = \frac{x^2}{x} + \frac{441}{x} = x + \frac{441}{x} \)

Теперь найдём производную функции:

\( y' = (x + 441x^{-1})' = 1 - 441x^{-2} = 1 - \frac{441}{x^2} \)

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 1 - \frac{441}{x^2} = 0 \)

\( 1 = \frac{441}{x^2} \)

\( x^2 = 441 \)

\( x = \pm \sqrt{441} \)

\( x = \pm 21 \)

Так как мы рассматриваем отрезок \( [2; 32] \), нас интересует только положительный корень \( x = 21 \). Этот корень принадлежит нашему отрезку.

Теперь проверим значение функции на концах отрезка и в критической точке:

• При \( x = 2 \): \( y = 2 + \frac{441}{2} = 2 + 220.5 = 222.5 \)
• При \( x = 21 \): \( y = 21 + \frac{441}{21} = 21 + 21 = 42 \)
• При \( x = 32 \): \( y = 32 + \frac{441}{32} = 32 + 13.78125 = 45.78125 \)

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение функции равно 42.

Ответ: 42