Найдите наименьшее значение функции y = x³ - 27x на отрезке [0;4].

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = x^3 - 27x \) на отрезке \( [0;4] \), необходимо:

1. Найти производную функции: \( y' = 3x^2 - 27 \).
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю: \( 3x^2 - 27 = 0 \Rightarrow 3x^2 = 27 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \).
3. Выбрать критические точки, принадлежащие отрезку \( [0;4] \). В нашем случае это \( x = 3 \). Точка \( x = -3 \) не входит в отрезок.
4. Вычислить значения функции на концах отрезка и в критической точке, принадлежащей отрезку:
   • При \( x = 0 \): \( y(0) = 0^3 - 27 \cdot 0 = 0 \).
   • При \( x = 3 \): \( y(3) = 3^3 - 27 \cdot 3 = 27 - 81 = -54 \).
   • При \( x = 4 \): \( y(4) = 4^3 - 27 \cdot 4 = 64 - 108 = -44 \).
5. Сравнить полученные значения. Наименьшее значение равно -54.

Ответ: -54.