Найдите наименьшее значение функции $$y = x^3 - 27x$$ на отрезке [0;4].

Решение:

1. Найдём производную функции:
   \( y = x^3 - 27x \)
   \( y' = 3x^2 - 27 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 3x^2 - 27 = 0 \)
   \( 3x^2 = 27 \)
   \( x^2 = 9 \)
   \( x = \pm 3 \)
3. Учитывая отрезок \( [0;4] \), критическая точка, которая попадает в этот отрезок, — это \( x = 3 \).
4. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
   \( y(0) = 0^3 - 27 \cdot 0 = 0 \)
   \( y(3) = 3^3 - 27 \cdot 3 = 27 - 81 = -54 \)
   \( y(4) = 4^3 - 27 \cdot 4 = 64 - 108 = -44 \)
5. Сравним полученные значения: 0, -54, -44. Наименьшее значение равно -54.

Ответ: -54